对流 Brinkman-Forchheimer 问题的增广混合有限元方法：先验与后验误差分析

我们提出并分析了一种用于 $\mathrm{R}^d$（$d\in \{2,3\}$）中定常对流 Brinkman-Forchheimer 问题拟应力-速度公式的增广混合有限元方法。由于对流项和 Forchheimer 项迫使速度存在于比通常更小的空间中，我们用合适的 Galerkin 型项增广变分公式。所得的增广格式被等价地写为一个不动点方程，从而著名的 Schauder 和 Banach 定理结合 Lax-Milgram 定理可证明连续问题的唯一可解性。有限元离散对拟应力张量采用 $k\geq 0$ 阶 Raviart-Thomas 空间，对速度采用次数 $\le k + 1$ 的连续分片多项式。获得了相关 Galerkin 格式的稳定性、收敛性和先验误差估计。此外，我们在任意多边形和多面体区域上推导了针对此问题的两个可靠且高效的基于残差的后验误差估计子。所提估计子的可靠性主要依赖于所涉及形式的均匀椭圆性、对数据的合适假设、稳定的 Helmholtz 分解，以及 Cl\'ement 和 Raviart-Thomas 算子的局部逼近性质。反之，逆不等式、基于气泡函数的局部化技术，以及先前工作中的已知结果，是给出效率估计的主要工具。最后，给出了一些数值例子以说明混合有限元方法的性能，确认理论收敛阶与估计子性质，并展示相关自适应算法的表现。特别地，考虑了流体通过具有裂缝网络的 $2$D 多孔介质的情况。