Gierer-Meinhardt 模型局部化三维斑点图样的渐近分析：存在性、线性稳定性与慢动力学

局部化斑点图样，即一个或多个解分量在区域中某些点处集中，是反应扩散系统的一类常见局部化图样，并出现在广泛的建模场景中。在任意有界三维区域中，针对著名的小扰动 Gierer-Meinhardt (GM) 激活剂-抑制剂系统，在激活剂扩散率 $\varepsilon^2\ll 1$ 很小的极限下，分析了局部化多斑点图样的存在性、线性稳定性与慢动力学。我们的主要焦点是对不同类型的多斑点图样进行分类，并针对抑制剂扩散率 $D$ 的不同渐近范围预测其线性稳定性性质。对于 $D={\mathcal O}(\varepsilon^{-1})\gg 1$ 的范围，尽管可以构造对称和非对称拟平衡斑点图样，但非对称图样被证明总是不稳定的。在该 $D$ 范围内，表明对称斑点图样可发生竞争不稳定性或 Hopf 分岔，分别导致斑点湮灭或斑点振幅的时间振荡。对于 $D={\mathcal O}(1)$，仅存在对称斑点拟平衡，并且它们在 ${\mathcal O}(1)$ 时间区间上线性稳定。在该范围内，表明斑点位置根据一个 ODE 梯度流在 ${\mathcal O}(\varepsilon^{-3})$ 时间尺度上缓慢演化至其平衡位置，该梯度流由涉及约化波 Green 函数的离散能量决定。强调了表征局部化斑点轮廓的某一核问题在 $D={\mathcal O}(1)$ 和 $D={\mathcal O}(\varepsilon^{-1})$ regime 下拟平衡构造以及确立其某些线性稳定性性质中的远场行为的中心作用。