Collatz映射的一个近似及平均总停止时间的下界

定义正整数上的映射$\mathsf{T}$：若$m$为偶数，则$\mathsf{T}(m)=\frac{m}{2}$；若$m$为奇数，则$\mathsf{T}(m)=\frac{3m+1}{2}$。Terras和Everett的结果意味着，给定任意$\epsilon>0$，几乎所有$m\in\mathbb{Z}^+$（在自然密度的意义上）对所有$0\leq k\leq \alpha\log m$（其中$\alpha=(\log 2)^{-1}\approx 1.443$）同时满足$(\frac{\sqrt{3}}{2})^km^{1-\epsilon}\leq \mathsf{T}^k(m)\leq (\frac{\sqrt{3}}{2})^km^{1+\epsilon}$。我们将此结果扩展到$\alpha=2(\log\frac{4}{3})^{-1}\approx 6.952$，这是最大可能的值。设$\mathsf{T}_{\min}(m):=\min_{n\in\mathbb{N}}\mathsf{T}^n(m)$。作为一个直接推论，对于任意给定的$\epsilon>0$，几乎所有$m\in\mathbb{Z}^+$都有$\mathsf{T}_{\min}(m)\leq\mathsf{T}^{\left\lfloor2(\log\frac{4}{3})^{-1}\log m\right\rfloor}(m)\leq m^{\epsilon}$。此前，Korec已证明，若$\epsilon>\frac{\log3}{\log4}$，则对几乎所有$m\in\mathbb{Z}^+$有$\mathsf{T}_{\min}(m)\leq m^\epsilon$；最近Tao证明了对所有发散到$\infty$的函数$f$，对几乎所有$m\in\mathbb{Z}^+$（在对数密度的意义上）有$\mathsf{T}_{\min}(m)\leq f(m)$。用$\tau(m)$表示使得$\mathsf{T}^n(m)=1$的最小$n\in\mathbb{N}$（若存在这样的$n$），否则设$\tau(m)=\infty$。作为另一个应用，我们证明$\liminf_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x\log x}\sum_{m=1}^{\lfloor x\rfloor}\tau(m)\geq 2(\log\frac{4}{3})^{-1}$，部分回答了Crandall和Shanks的一个问题。在假设Collatz猜想在强意义下成立（即$\tau(m)$在$O(\log m)$中）的条件下，我们证明$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x\log x}\sum_{m=1}^{\lfloor x\rfloor}\tau(m)= 2(\log\frac{4}{3})^{-1}$。