关于 $\mathbb{F}_2[x]$ 上 Collatz 映射的平均停时

在 $\mathbb{F}_2[x]$ 上定义映射 $T_1$：若 $f(0)=0$，则 $T_1(f)=\frac{f}{x}$；若 $f(0)=1$，则 $T_1(f)=\frac{(x+1)f+1}{x}$。对于非零多项式 $f$，设 $\tau_1(f)$ 为使得 $T_1^{k}(f)=1$ 成立的最小自然数 $k$。定义平均停时为 $\rho_1(n)=\frac{\sum_{f\in \mathbb{F}_2[x], \text{deg}(f)=n }\tau_1(f)}{2^n}$。我们证明了 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\rho_1(n)}{n}=2$，从而证实了 Alon、Behajaina 和 Paran 的猜想。此外，我们给出了对于所有 $f\in\mathbb{F}_2[x]\setminus\{0\}$ 均有 $\tau_1(f)\in O(\text{deg}(f)^{1.5})$ 的新证明。