一个古老的丢番图方程及其在数值奇趣与几何级数中的应用

在本文中，我们考察丢番图方程 $x^k-y^k=x-y$，其中 $k$ 是正整数 $\geq 2$，并考虑其应用。尽管当 $k=2$ 或 $3$ 时该方程在正有理数中的完全解已知，但迄今为止当 $k=4$ 时仅发表了一个正有理数解，且当 $k \geq 5$ 时未知非平凡解。我们描述了一种当 $k=4$ 时生成无穷多个正有理数解的方法。我们利用 $k=2,\, 3$ 或 $4$ 时该方程的正有理数解来产生涉及平方根、立方根和四次方根的数值奇趣，并且作为这些解的另一种应用，我们展示了如何构造具有有趣性质的几何级数的例子。