二维紧扰动边界积分方程最小二乘过采样配置法的分析

在近期工作（Maierhofer & Huybrechs, 2022, Adv. Comput. Math.）中，作者表明最小二乘过采样可改善涉及特定伪微分形式算子的边界积分方程配置法的收敛性质。其基本原理是离散方法在合适意义下逼近Bubnov$-$Galerkin法。在本工作中，我们将该分析推广到积分算子被紧算子$\mathcal{K}$扰动的情形，该紧算子作为边界上Sobolev空间间的映射是连续的，$\mathcal{K}:H^{p}\rightarrow H^{q}$对所有$p,q\in\mathbb{R}$。由于离散Bubnov-Galerkin正交条件中的检验函数与试探函数均相对于未扰动情形被修改，该研究变得复杂。我们的分析保证先前关于最优收敛速率与充分过采样速率的结果在更一般情形下得以保持。事实上，这首次为该分析提供了对二维任意光滑Jordan曲线上Laplace方程边界积分公式的最小二乘过采样配置法优势的完整解释。我们的理论结果与数值实验吻合极好。