具有退化势与 Neumann 边界条件的 Ambrosetti-Prodi 问题

我们研究有界开集 $\Omega$ 中具有齐次 Neumann 边界条件的退化椭圆方程 $-\mathop{\rm div}(|x|^\alpha\nabla u) =f(u)+t\phi(x)+h(x)$,其中 $\alpha\in(0,2)$ 且 $f$ 具有线性增长。主要结果建立了实数 $t_*$ 与 $t^*$ 的存在性,使得当 $t\leq t_*$ 时该问题至少有两解,当 $t_*<t\leq t^*$ 时至少有一解,而对所有 $t>t^*$ 无解。证明结合了先验估计与拓扑度论证。