Keith-Zhong 自改进与连通性的替代证明

我们为 Keith 和 Zhong 的著名定理——一个 $(1,p)$-庞加莱不等式自改进为一个 $(1,p-\epsilon)$-庞加莱不等式——找到了一个新的证明。本文包含对庞加莱不等式的一个新颖刻画，然后利用它给出一个与 Muckenhoupt 权密切相关的全新证明。这个新刻画以及替代证明，展示了 Muckenhoupt 权与庞加莱不等式之间的形式相似性。我们给出的证明简短且在一定程度上更直接。借助这些证明，我们可以首次给出关于自改进量及所涉及常数的完全清晰的界限。我们观察到，对于大的 $p$，自改进量与 $p$ 成正比，并与倍增常数和庞加莱不等式中常数的某次幂成反比。这些证明可以被局部化，因此我们获得了局部庞加莱不等式自改进的更清晰的证明。