Poincaré 不等式的几何方法及分离集的 Minkowski 含量

本文旨在继续研究 Poincaré 不等式与分离集 Minkowski 含量下界之间的关系，该研究始于我们之前的工作 [Caputo, Cavallucci: Poincaré inequality and energy of separating sets, arXiv 2401.02762]。我们提供了一种新的更简短的证明。一个中间工具是对另一个几何量（称为分离比）的下界的研究。主要创新在于描述了分离比的下确界与分离集 Minkowski 含量下确界之间的关系。我们在局部拟测地线情形下证明了两个下确界之间的定量比较，并在局部测地线情形下证明了相等性。证明该结果不需要 Poincaré 假设。证明中使用的主要工具是一个新函数，称为位置函数，它在某种意义上允许将集合纤维化为分离集的边界。我们还将证明推广到度量图，由于问题的组合性质，该方法更为直观。在附录中，我们修正了 p-Poincaré 不等式的一些经典刻画，并在此过程中证明了与 p-pencil 概念的等价性，该概念自然地推广了 p=1 时的定义。