一般初值问题全局解的几乎必然存在性

本文研究可分对偶 Banach 空间上形如 $\dot{\gamma}(t)= v(t,\gamma(t))$ 的初值问题全局解的几乎必然存在性。我们证明了一个一般性结论：每当存在 $(\mu_t)_{t\in \mathbb{R}}$ 一族满足相关统计 Liouville 方程的概率测度时，对于 $\mu_0$-几乎所有的初始数据，初值问题存在全局解，可能不唯一。主要假设是向量场 $v$ 关于 $(\mu_t)_{t\in \mathbb{R}}$ 的一个温和可积条件。作为一个显著应用，由上述原理我们得到 Gibbs 测度和 Gaussian 测度为若干非线性色散偏微分方程以及流体力学方程（包括 Hartree、Klein-Gordon、NLS、Euler 和修正表面准地转方程）给出了低正则性全局解。就此而言，我们的结果推广了 Bourgain 构造低正则性全局解的方法以及 Albeverio & Cruzeiro 的方法，且无需局部适定性分析。