几乎所有素数都有小汉明重量的倍数

近期 Bourgain 与 Shparlinski 的结果表明，对几乎所有素数 $p$，存在一个倍数 $mp$ 可写为二进制形式 $mp= 1+2^{m_1}+ \cdots +2^{m_k}, \quad 1\leq m_1 < \cdots < m_k,$ 其中 $k=66$ 或 $k=16$。我们证明 $k=6$（对应于汉明重量 $7$）已足够。我们还证明存在无穷多个素数 $p$，其具有某个 $g \in \{2,3,5\}$ 生成的乘法子群 $A=<g>\subset \mathbb{F}_p^*$，大小为 $|A|\gg p/(\log p)^3$，其中和积集 $A\cdot A+ A\cdot A$ 不能完全覆盖 $\mathbb{F}_p$。