位于可容许线性型 k 元组上的素数 m 元组的加权平均个数

我们对和式 $\sum_{x<n\leq 2x}\textbf{1}_{\mathbb{P}}(n+h_{i_{1}})\cdots\textbf{1}_{\mathbb{P}}(n+h_{i_{m+1}})w_{n}$ 给出一个上界,其中 $(h_{i_{1}},...,h_{i_{m+1}})$ 是可容许集 $\mathcal{H}=\{h_{1},...,h_{k}\}$ 中任意的 $(m+1)$ 元组,$m\geq 1$ 且 $x$ 充分大,权重 $w_{n}$ 与 Maynard 论文 "Dense clusters of primes in subsets" 中所用相同。该估计在正整数 $k$ 满足 $m+1\leq k\leq (\log x)^{1/5}$ 以及可容许集 $\mathcal{H}$ 满足 $0\leq h_{1}<...<h_{k}\leq x$ 时是一致成立的。该上界依赖于一个光滑函数的积分以及 $\mathcal{H}$ 的奇异级数,后者在此背景下自然出现。