关于多基表示的极小汉明重量

给定一组有限的基$b_1$、$b_2$、\dots、$b_r$（大于$1$的整数），整数$n$的多基表示是形如$db_1^{\alpha_1}b_2^{\alpha_2} \cdots b_r^{\alpha_r}$的和，其中$\alpha_j$为非负整数，数字$d$取自一固定有限集。我们考虑至少有两个乘法独立基的多基表示。我们的主要结果表明，整数$n$的极小汉明重量（即$n$的表示中非零被加数的最小数目）的数量级为$\log n / (\log \log n)$。这与基的个数、基本身以及数字集无关。证明中，将已有的素数基上界推广到乘法独立基，为此分析了自然贪心算法，并导出了一个丢番图逼近中的辅助结果。下界由计数论证得到，另可由通信复杂度得到，从而改进了现有界并填补了数量级上的缺口。这也意味着贪心算法在$\mathcal{O}(\log n/\log \log n)$步后终止，且该界是紧的。