Umbral Clifford分析中的Almansi定理与量子谐振子

我们从Heisenberg对易关系$[\frac{d}{dx}, x] = {\bf id}$的抽象出发，将Umbral微积分引入Clifford分析。Umbral Clifford分析在连续性与离散性方面提供了一个有效的框架。在本文中，我们考虑定义在星型域$\Omega \subset \BR^n$上、取值于Umbral Clifford代数$C\ell_{0,n}'$中的函数，这些函数关于（左）Umbral Dirac算子$D'$是Umbral多单演的，即它们属于$(D')^k$的核。我们证明任何多单演函数$f$都具有以下形式的分解：$$f=f_1+ x'f_2 + ... + (x')^{k-1}f_k,$$其中$x'=x'_1e_1 + ... + x'_ne_n$，且$f_j, j=1,..., k$是Umbral单演函数。作为例子，该结果恢复了导数的经典Almansi定理的连续版本，并建立了差分算子的Almansi定理的离散版本。该方法还在量子场中提供了与Hamilton算子相关的Almansi分解的类似结果。将给出Almansi分解的离散模拟版本以及量子谐振子的一些具体例子。