在无穷远处具有三岔结结构的 Allen-Cahn 解

我们构造椭圆系统 $U:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 的整体解 $$\Delta U=\nabla_uW(U),$$ 其中 $W:\mathbb{R}^2\to [0,\infty)$ 是一个“三阱”势。该解是相关能量 $$\int \frac{1}{2}|\nabla U|^2+W(U)\,dx$$ 的局部极小元，其意义在于：在任何紧集上，在外部与该解一致的竞争者中，$U$ 使能量极小。此外，我们证明沿子列，由 $U_R(x):=U(Rx)$ 给出的 $U$ 的“放缩极限”当 $R\to\infty$ 时逼近一个极小三岔结。先前的结果假定了势的各种对称性且未建立局部极小性，但此处我们不作此类对称性假设。