Moser-Tardos 分布的算法与枚举方面

Moser 与 Tardos 开发了一种针对洛瓦兹局部引理 (Lovasz Local Lemma, LLL) 的强大算法方法（以下称“MT”）；MT 及其变体中的基本操作是在当前配置中搜索“坏”事件。在 MT 的初始阶段，变量被独立设置。我们考察了在 MT 中间阶段产生的这些变量上的分布。我们表明，这些配置具有或多或少“随机”的形式，在 Haeupler 等人提出的“MT-分布”概念基础上进一步理解 MT 的（中间和）输出分布。这有着多种算法应用；最重要的是坏事件可以相对快速地找到，从而在复杂度谱系上改进 MT：它使某些多项式时间算法变为次线性（例如对于具有基础组合学意义的拉丁横截 (Latin transversals)），在某些设定下给出更低次数的多项式运行时间，将某些超多项式时间算法转化为多项式时间算法，并导出用于某些着色问题的拉斯维加斯算法 (Las Vegas algorithms)，而此前仅知蒙特卡洛算法 (Monte Carlo algorithms)。我们表明，在 LLL 条件被违反的某些条件下，MT 算法的一个变体仍能产生避免大多数坏事件的分布。我们展示在某些情形中该 MT 变体可比原始 MT 算法本身运行更快，并提出了针对非对称 LLL 情形的首个已知判据。这可用于寻找部分拉丁横截——改进了 Stein (1975) 的早期界限——以及其他应用。我们进一步给出枚举方面的应用，通过证明 MT-分布具有“大”最小熵 (min-entropy) 从而其支撑大小 (support-size) 很大，表明大多数应用（我们旨在避免所有或大多数坏事件）拥有比先前已知更多的解。