算法 Lovasz 局部引理的推广

我们考虑 Achlioptas-Iliopoulos-Kolmogorov [2] 与 Achlioptas-Iliopoulos-Sinclair [3] 近期提出的算法 Lovasz 局部引理的表述。这些论文分析了一种随机游走算法，用于寻找避开不期望的“坏事件”（或“缺陷”）的对象，并证明在某些条件下该算法保证能快速找到一个“无缺陷”对象。我们表明这些论文中提出的条件是不可比较的，并引入了一类新的条件族，它将 [2, 3] 中的条件作为特例包含在内。我们还考虑了 [3] 中在稀疏 k-SAT 公式背景下出现的另一条件。该条件对问题的每个变量施加一个约束，而传统的 LLL 表述对每个子句施加一个约束。Achlioptas 等人通过归约到另一条件再应用单子句回溯算法来处理基于变量的条件。我们提出了一种新条件，直接刻画了 [3] 中考虑的稀疏 k-SAT 应用，并允许使用标准局部搜索算法（其提供了如并行化等重要优势）。最后，我们推广了先前在 [20] 中的“交换性”概念，并利用我们发展的一些新工具证明了交换性的若干推论。特别地，我们简化了 Iliopoulos [16] 关于近似 LLL 分布的结果。