有向洛瓦兹局部引理与谢勒引理
组合数学
2020-06-16 v5 离散数学
摘要
Moser和Tardos (2010) 在变量框架下给出了偏斜洛瓦兹局部引理(LLL)的算法证明，其中每个不良事件被假定依赖于一组独立随机变量的子集。为了证明，他们定义了适合该框架的不良事件之间的一种偏斜依赖概念。在这项工作中，我们加强了这一概念，定义了一种新的有向依赖概念，并证明了相应图的LLL。我们表明，与其他现有偏斜依赖版本对应的图相比，该图可以严格更稀疏（因此LLL的充分条件更弱）。因此，在某种意义上，我们解决了Szegedy (2013)提出的“为（变量框架中的）约束寻找其他简单的局部条件，这些条件有利地转化为某些抽象的偏斜条件”的问题。我们还给出了一个例子，其中我们的依赖图概念比经典的谢勒引理给出更好的结果。最后，我们为我们定义的依赖图证明了谢勒引理。对于证明，我们进行了直接的概率分析，得到了在 步内搜索变量所需赋值未返回正确答案的算法概率的指数小上界。相比之下，被称为熵方法的证明方法仅给出了直到算法返回正确答案所需步数的期望估计，除非对概率进行调整。
引用
@article{arxiv.1611.00502,
title = {Directed Lov\'asz Local Lemma and Shearer's Lemma},
author = {Lefteris Kirousis and John Livieratos and Kostas I. Psaromiligkos},
journal= {arXiv preprint arXiv:1611.00502},
year = {2020}
}
备注
22 pages, 3 figures. Revised in Section 3 to include a correct version of Definition 3 and a correct statement and proof of Theorem 1a