改进的 Lovász 局部引理与边着色的分布式算法

Lovász 局部引理是概率论中的经典结论，常通过概率方法用于证明组合对象的存在性。在其最简单的形式中，它指出：若有 $n$ 个“坏事件”，每个坏事件发生的概率至多为 $p$，且除 $d$ 个其他事件外均独立，则在 $p$ 与 $d$ 满足特定准则时，所有坏事件均以正概率被避免。尽管原始证明是存在性的，但关于算法化 Lovász 局部引理已有大量研究：即设计一种算法，找出底层随机变量的一个赋值，使得所有坏事件确实都被避免。值得注意的是，Moser 与 Tardos 的著名结果 [JACM '10] 也隐含了该问题的一个高效分布式算法，其轮数为 $O(\log^2 n)$。对于 $d$ 较小的实例，Fischer 与 Ghaffari [DISC '17] 将其改进为 $O(d^2+\log^{O(1)}\log n)$，这一结果在分布式复杂性理论中已被证明极为重要（Chang 与 Pettie [SICOMP '19]）。我们给出了 Lovász 局部引理的一个改进算法，在关联 $p$ 与 $d$ 的准则强度与分布式轮复杂度之间提供了权衡。具体而言，在 Fischer 与 Ghaffari 算法相同的参数区间内，我们将轮复杂度改进为 $O(\frac{d}{\log d}+\log^{O(1)}\log n)$。在权衡的另一端，我们获得了 $\log^{O(1)}\log n$ 的轮复杂度，其适用区间比先前所知大幅拓宽。作为我们的主要应用，我们还给出了最大度数为 $\Delta$ 的图进行 $\Delta+o(\Delta)$-边着色的首个 $\log^{O(1)}\log n$ 轮分布式算法。这是对先前结果的近乎指数级改进：此前即便是对于 $2\Delta-2$-边着色，也没有已知的 $\log^{o(1)} n$ 轮算法。