通过对数空间统计检验去随机化 Lovász 局部引理

Lov\'{a}sz 局部引理（LLL）是概率论中的基石原理，它保证存在避开一组“坏”事件集合 $\mathcal B$ 的构型，这些坏事件大多相互独立且概率较低。在其最简单的形式中，它断言：每当一个坏事件的概率为 $p$ 且至多影响 $d$ 个其他坏事件，且 $e p (d+1) < 1$ 时，则存在避开所有 $\mathcal B$ 的构型。Moser 与 Tardos（2010）的一个开创性算法给出了基于 LLL 的大多数构造的随机算法。然而，确定性算法一直落后。值得注意的是，先前的确定性 LLL 算法对 $\mathcal B$ 有严格要求；例如，它们要求 $\mathcal B$ 中的事件具有低的决策树复杂度或依赖于少量变量。因此，它们只能应用于实践中众多 LLL 应用的一小部分。我们描述了一种基于 Sivakumar（2002）使用对数空间统计检验的通用去随机化方法的 LLL 替代性确定性并行（NC）算法。这里唯一的要求是坏事件应可通过具有 $\text{poly}(d)$ 个状态的有限自动机计算。这涵盖了 LLL 在图论和组合学中的大多数应用。不需要关于坏事件的任何辅助信息，包括任何条件概率计算。此外，该证明是通用去随机化结果和对 Moser-Tardos 算法高层分析的简单结合。我们以缺陷顶点染色、支配划分和独立横截的应用为例进行说明。