Moser-Tardos 算法：超越 Shearer 界

在一篇开创性论文（Moser 与 Tardos，JACM'10）中，Moser 与 Tardos 开发了简单而强大的算法，用于在变量 Lov{\'a}sz 局部引理（LLL）设定下寻找组合问题的解。Kolipaka 与 Szegedy（STOC'11）证明 Moser-Tardos 算法在抽象 Lov{\'a}sz 局部引理的紧条件（即 Shearer 界）内高效。围绕 LLL 的一个基本问题是 Moser-Tardos 算法的高效区域能否进一步扩展。本文对该问题给出肯定回答。我们表明，若依赖图非弦图，则 Moser-Tardos 算法的高效区域超越其底层依赖图的 Shearer 界。否则依赖图为弦图，且已证明 Shearer 界精确刻画此类图的高效区域（Kolipaka 与 Szegedy，STOC'11；He、Li、Liu、Wang 与 Xia，FOCS'17）。此外，我们通过在若干无限格点上显式计算间隙，证明高效区域可超出 Shearer 界一个常数。我们证明的核心是一个考虑依赖事件间交集的 Moser-Tardos 算法高效性新判据。只要依赖事件间存在交集，该判据严格优于 Shearer 界。同时，若任意两个依赖事件互斥，则我们的判据退化为 Shearer 界，而已知此情形下其对 Moser-Tardos 算法为紧（Kolipaka 与 Szegedy，STOC'11；Guo、Jerrum 与 Liu，JACM'19）。