Lovász 局部引理的动态构造

本文证明，一大类局部搜索算法可直接扩展到具有自适应对手的全动态设置中，每次更新均摊仅需 $\tilde{O}(1)$ 次局部搜索步骤。Moser（2009）的一项突破性工作引入了见证树和熵压缩技术，用于分析 Lovász 局部引理的局部重采样过程。这些方法此后被推广和扩展，用于分析各种能高效找到许多重要局部约束满足问题解的局部搜索算法。这些算法要么扩展一个部分有效赋值，并在约束被违反时通过取消变量赋值进行回溯，要么通过重采样其变量来迭代修复被违反的约束。这些局部重采样或回溯过程极其灵活、实用，且易于指定和实现。然而，它们可以被证明在静态实例上极其高效，通常仅执行（次）线性数量的修复步骤。主要的技术挑战在于证明保证如此快速收敛的条件。本文将收敛结果扩展到全动态设置，其中自适应学习对手可以添加或删除约束。我们证明，应用相同的简单局部搜索过程来修复旧的或新引入的违反，会导致重采样步骤总数与对手更新次数近乎线性。我们的结果非常通用，并产生若干直接推论。例如，令 $\Delta$ 表示最大度数，对于常数 $\epsilon$ 和 $\Delta = \text{poly}(\log n)$，我们可以在自适应学习对手下以 $\text{poly}(\log n)$ 的均摊更新时间维护一个 $(1+\epsilon) \Delta$-边着色。该领域的先前工作在此情况下具有 $\sqrt{\log n}$ 的指数运行时间 [Christiansen, SODA '26]。