近似覆盖整数规划的局部重采样

我们考虑列稀疏覆盖整数规划，它是集合覆盖的一种推广，在(随机)近似算法方面有长期的研究。我们开发了一种新的舍入方案，该方案基于Harris & Srinivasan (2019)提出的Lovász局部引理的局部重采样变体。这实现了近似比 $1 + \frac{\ln (\Delta_1+1)}{a_{\min}} + O\Big( \log(1 + \sqrt{ \frac{\log (\Delta_1+1)}{a_{\min}}} \Big)$，其中 $a_{\min}$ 是最小覆盖约束，$\Delta_1$ 是覆盖矩阵任意列的最大 $\ell_1$-范数(其元素被缩放至位于 $[0,1]$ 中)。当对变量大小有额外约束时，我们展示了近似比 $\ln \Delta_0 + O(\log \log \Delta_0)$ (其中 $\Delta_0$ 是覆盖矩阵任意列中非零元素的最大数目)。这些结果在几种不同方面渐近地改进了Srinivasan (2006)以及Kolliopoulos & Young (2005)的结果。我们展示了近乎匹配不可近似性与整数间隙下界。我们还表明该舍入过程导致变量间的负相关性，这使得我们能够处理多准则规划。