具有小体积的一般型代数三维簇

已知对于每一个满足 $p_g(X) \ge 11$ 的一般型 $3$-fold $X$，最优 Noether 不等式 $\mathrm{vol}(X) \ge \frac{4}{3}p_g(X) - \frac{10}{3}$ 成立。在本文中，我们通过给出 $X$ 的相对典范模型的具体结构，对满足上述等式且 $p_g(X) \ge 11$ 的一般型 $3$-fold $X$ 进行了完全分类。当 $p_g(X) \ge 23$ 时，该模型与 $X$ 的典范模型一致。我们还建立了对于满足 $p_g(X) \ge 11$ 的一般型 $3$-fold $X$ 的第二和第三个最优 Noether 不等式。这些结果回答了 J. Chen、M. Chen 和 C. Jiang 提出的两个公开问题，以及在三维情形下 J. Chen 和 C. Lai 提出的一个公开问题。一个新颖的现象表明，三个 Noether 不等式与 $p_g(X)$ 模 $3$ 的三种可能余数之间存在一一对应。