指数泰勒多项式求和的代数性质

设 $n\ge 1$ 为整数，$e_n(x)$ 表示截断的指数泰勒多项式，即 $e_{n}(x)=\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}$。Schur 的一个著名定理指出，$e_n(x)$ 在 $\Q$ 上的伽罗瓦群在 $n$ 被 4 整除时为交错群 $A_n$，否则为对称群 $S_n$。本文中，我们研究两个截断指数泰勒多项式之和 $\E_n(x):=e_n(x)+e_{n-1}(x)$ 的代数性质。我们证明当所有 $c_i\ (0\le i\le n-1)$ 均为整数时，$\frac{x^n}{n!}+\sum_{i=0}^{n-1}c_i\frac{x^i}{i!}$ 在 $\Q$ 上不可约，若要么 $c_0=\pm 1$，要么 $n$ 不是 2 的正幂但 $|c_0|$ 是 2 的正幂。这推广了 Schur 的另一个定理。我们还证明 $\E_n(x)$ 在 $n\notin\{2,4\}$ 时不可约。此外，我们证明 ${\rm Gal}_{\Q}(\E_n)$ 包含 $A_{n}$，除了 $n=4$ 的情形，此时 ${\rm Gal}_{\Q}(\E_4)=S_3$。最后，我们证明伽罗瓦群 ${\rm Gal}_{\Q}(\E_n)$ 为 $S_n$，若 $n\equiv 3 \pmod 4$，或若 $n$ 为偶数且对 $n-1$ 的一个素因子 $p$ 有 $v_p(n!)$ 为奇数，或若 $n\equiv 1\pmod 4$ 且 $n-2$ 等于一个奇素数 $p$ 与一个和 $p$ 互素的正整数的乘积，其中 $p$ 与 $\sum_{i=1}^{p-1}2^{p-1-i}i!$ 互素。