广义修正 Camassa-Holm 方程序列中特定形式成员的代数性质

我们研究如下形式的广义修正 Camassa-Holm 方程（GMCH）的对称性与可积性：$$u_{t}-u_{xxt}+2nu_{x}(u^2-u_{x}^2)^{n-1}(u-u_{xx})^2+(u^2-u_{x}^2)^{n}(u_{x}-u_{xxx})=0.$$ 我们观察到，对于递增的 $n\in \mathbb{N}$（$\mathbb{N}$ 表示自然数），上述方程给出一族方程，其非线性随 $n$ 增大而迅速增强。然而，除 $n$ 的取值外，该族方程具有相似形式的对称性。有趣的是，由 GMCH 方程导出的二阶非线性 ODE 具有八维对称性。因此该二阶非线性 ODE 是可线性化的。最后我们得出结论：由 GMCH 族方程导出的二阶非线性常微分方程通过了 Painlevé 检验，并且也具有相似形式的主导阶、共振与截断级数解。