实数与有限域上加法函数的代数条件

设 $C$ 为一条仿射平面曲线。我们考虑加法函数 $f: K\rightarrow K$，使得只要 $(x,y)\in C$，就有 $f(x)f(y)=0$。我们证明，若 $K=\mathbb{R}$ 且 $C$ 是定义方程为 $xy=1$ 的双曲线，则存在具有此性质的非零加法函数。此外，我们证明：对于域 $K$，这样的非零 $f$ 存在当且仅当 $K$ 在 $\mathbb{Q}$ 上或在 $\mathbb{F}_p$（具有 $p$ 个元素的有限域）上是超越的。我们还考虑了当 $K$ 为有限域时的普遍问题。我们证明，若曲线 $C$ 的次数相对于 $K$ 的特征足够大，则 $f$ 必恒为零。