带状缠结与平面代数的 Alexander 不变量

带状缠结是环面与圆柱在 $4$-球 $B^4$ 中的真嵌入，其“边界” $3$-流形仅以带状圆盘为奇点。我们构造了带有外部基本群到自由阿贝尔群 $G$ 的表示的带状缠结的 Alexander 不变量 $\mathsf{A}$。该不变量在某一缠结范畴 $\mathsf{R}ib_G$ 中诱导出一个函子，其对于带状辫子（在此背景下类似于通常的辫子）限制为 Burau-Gassner 表示的外部幂。受 Jones 引入的图示平面代数启发，我们定义了一个基于光滑配边 operad 的电路代数 $\mathsf{C}ob_G$，并证明不变量 $\mathsf{A}$ 与该代数中的复合运算可交换。另一方面，带状缠结允许通过焊接图示进行图示表示。我们给出了 $\mathsf{A}$ 和代数 $\mathsf{C}ob_G$ 的一个简单组合描述，并注意到我们的构造是 Archibald 的 Alexander 不变量的拓扑体现。当限制于无虚交叉的图示时，$\mathsf{A}$ 给出了链环的通常 Alexander 多项式的纯局部描述，并推广了 Bigelow、Cattabriga 和第二作者之前的构造。