Ahlfors-Beurling 共形不变量与紧集的相对容量

对于扩充复平面 $\bar{\mathbb C}$ 中具有可达边界点 $z_0 \in \partial D$ 的区域 $D$，以及相对于 $D$ 闭的子集 $E \subset D$，我们将相对容量 $\rc E$ 定义为当 $z$ 趋近于 $z_0$ 时 Ahlfors-Beurling 共形不变量 $r(D\setminus E,z)/r(D, z)$ 渐近展开式中的系数。这里 $r(G,z)$ 表示包含点 $z$ 的集合 $G$ 的连通分量在 $z$ 处的内半径。建立了该比值的渐近行为。进一步证明，当区域 $D$ 为上半平面且 $z_0=\infty$ 时，容量 $\rc E$ 与著名的半平面容量 ${\hc} E$ 一致。证明了相对容量的若干性质，包括该容量在各种对称化形式及其他几何变换下的行为。给出了在单位圆盘有界全纯函数中的一些应用。