一类经典允许区域非紧的薛定谔算符本征函数的 Agmon 型衰减

Agmon 的一个重要结果暗示，若 $\mathbb{R}^n$ 中薛定谔算符的本征值 $E$ 低于本质谱下界，且关联的经典允许区域 $\{x \in \mathbb{R}^n~:~ V(x) \leq E \}$ 是紧的，则本征函数指数衰减。我们将此结果推广到一类具有本征值的薛定谔算符，其经典允许区域未必具有紧支集：我们表明，经典允许区域的特征函数关于具有有界对数导数的递增权函数的可积性，导致本征函数关于同一权函数的 $L^2$ 衰减。此处，衰减在 Agmon 度量下度量，该度量考虑了势的各向异性。特别地，对于幂律（或分别为指数）权函数，我们的主要结果暗示经典允许区域“大小”的幂律（或分别为指数）衰减，可推出本征函数在 Agmon 度量下的幂律（或分别为指数）衰减。