禁戒区中的反向 Agmon 估计与节点相交界

设 $(M,g)$ 为紧黎曼流形且 $V \in C^{\infty}(M; \mathbb{R})$。给定正则能级 $E > \min V$，我们考虑薛定谔算子 $P(h) = - h^2 \Delta_g + V - E(h)$ 的 $L^2$-归一化本征函数 $u_h$，满足 $P(h) u_h = 0$ 且 $E(h) = E + o(1)$ 当 $h \to 0^+$。著名的 Agmon-Lithner 估计 \cite{Hel} 是本征函数在禁戒区 $\{ V>E \}$ 中的指数衰减估计（即上界）。衰减率由退化 Agmon 度量 $(V-E)_+ \, g$ 所关联的 Agmon 距离函数 $d_E$ 给出，该度量支撑于禁戒区内。本文要点是在允许区 $\{ V< E \}$ 中本征函数质量接近焦散面 $\{ V = E \}$ 的某控制假设下，证明 Agmon 估计的部分逆（即本征函数的指数{\em 下}界）以禁戒区中 Agmon 距离表示。随后我们给出一些应用于禁戒区中本征函数的超曲面限制界及相应节点相交估计。