Sturm-Liouville 方程的容许空间

我们考虑方程 \begin{equation} -y''(x)+q(x)y(x)=f(x),\quad x\in \mathbb R \end{equation} 其中 $f \in L_p^{loc}(\mathbb R),$ $p \in [1,\infty)$ 且 $0 < q \in L_1^{loc}(\mathbb R).$ 该方程的解是指与其导数一起绝对连续且在 $\mathbb R$ 中几乎处处满足该方程的任意函数 $y.$ 给定 $x \in \mathbb R$ 时的正连续函数 $\mu(x)$ 和 $\theta(x)$. 引入空间 $L_p(\mathbb R,\mu) = \{f \in L_p^{loc}(\mathbb R): ||f||_{L_p(\mathbb R,\mu)}^p =\int_{-\infty}^\infty|\mu(x)f(x)|^p dx < \infty\},$ $L_p(\mathbb R,\theta) = \{f\in L_p^{loc}(\mathbb R):||f||_{L_p(\mathbb R,\theta)}^p = \int_{-\infty}^\infty|\theta(x)f(x)|^p dx < \infty\}.$ 在本文中，我们给出了对函数 $\mu,\theta$ 和 $q$ 的要求，使得：1) 对于每个函数 $f \in L_p(\mathbb R,\theta)$，存在唯一的方程解 $y \in L_p(\mathbb R,\mu)$；2) 存在一个绝对常数 $c(p) \in (0,\infty)$，使得无论选择何种函数 $f \in L_p(\mathbb R,\theta)$，方程的解都满足不等式 $$\|y\|_{L_p(\mathbb R,\mu)} < c(p)\|f\|_{L_p(\mathbb R,\theta)}.$$