非正确可解线性微分方程的空间容许对

我们考虑微分方程 \begin{align}\label{ab} -y'(x)+q(x)y(x)=f(x), \quad x \in \mathbb R, \end{align} 其中 $f \in L_{p}(\mathbb R)$，$p\in [1,\infty)$，且 $0\leq q \in L_{1}^{\rm loc}(\mathbb R)$，$\int\limits_{-\infty}^{0}q(t)\,dt=\int\limits_{0}^{\infty}q(t)\,dt=\infty,$ \begin{align*} q_{0}(a)=\inf_{x\in \mathbb R}\int_{x-a}^{x+a}q(t)\,dt=0 \quad{\rm \ for ~ any }\quad a\in (0,\infty). \end{align*} 在这些条件下，方程 ({\rm \ref{ab}}) 对于任何 $p \in [1, \infty)$ 在 $L_{p}(\mathbb R)$ 中均非正确可解。设 $q^{*}(x)$ 为函数 $q(t), t\in \mathbb{R}$ 在点 $t=x$ 处的 Otelbaev 型平均值；$\theta(x)$ 为 $x \in \mathbb R$ 上的连续正函数，且 \begin{align*} L_{p,\theta }(\mathbb R) = \{f\in L_{p}^{\rm loc}(\mathbb R):\, \int_{-\infty}^{\infty}|\theta(x)f(x)|^{p}\,dx<\infty \}, \end{align*} \begin{align*} \|f\|_{L_{p,\theta}(\mathbb R)}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|\theta(x)f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\ \end{align*} 我们证明，若存在常数 $c\in [1, \infty)$ 使得不等式 $$c^{-1}q^{*}(x)\leq \theta(x)\leq cq^{*}(x)$$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，则在关于 $q$ 的某些附加条件下，空间对 $\{L_{p, \theta}(\mathbb R); L_{p}(\mathbb R)\}$ 对于方程 ({\rm \ref{ab}}) 是容许的。