广义相对论中的绝热解与边界对称性

我们通过 Manton 近似研究具有带边界空间片的时空的广义相对论绝热解。该近似告诉我们，对于一个拉格朗日量取自然形式的理论，被描述为真空静态解（使能量最小化）空间上的慢运动的一种运动，是一个良好的近似解。为了将这一点应用于广义相对论的情形，我们首先通过分离空间与时间并选择高斯法坐标将其化为自然形式，其中时空由其空间片上的度量描述。随后遵循 Manton 方法，我们提出慢解，使得每个空间片是一个参考空间片的缓慢变化的微分同胚，从而每个解由空间片上的一个向量场描述。这些解将具有如下性质：作用量将成为空间片边界上向量场的泛函。此外，利用 Hodge-Morrey-Friedrichs 分解，我们将证明广义相对论的约束将为给定边界值确定唯一解。然后我们评论真空空间的结构，我们证明其为一个（伪）黎曼齐性空间。我们针对所选的特定参考空间片——三维欧氏圆球——阐明了我们的步骤。