Pólya 系综与多项式系综的加性矩阵卷积

近来，人们识别出多项式系综在加性与乘性矩阵卷积下的若干子类，称之为 Pólya 系综（或导数型多项式系综）。这些系综在相应卷积下封闭，因此若人为加入单位元便构成半群。它们甚至对多项式系综具有半群作用。此外，在多篇工作中，人们推导了给定多项式系综与特定 Pólya 系综进行加性或乘性矩阵卷积时其双正交函数与核的变换。对于复方阵上的乘性矩阵卷积，甚至对一般 Pólya 系综也完成了变换。本文将这些结果推广到 Hermite 矩阵、Hermite 反对称矩阵、Hermite 反自对偶矩阵以及矩形复矩阵上的加性卷积。为此，我们推导了一般 Pólya 系综的双正交函数及相应核，这是此前未做过的。借助这些结果，我们找到了与固定矩阵或抽取自一般多项式系综的随机矩阵进行卷积时的变换公式。作为例子，我们考虑了关联权函数为无穷阶 Pólya 频率函数的 Pólya 系综。但我们也显式计算了高斯酉系综以及复 Laguerre（即 Wishart、Ginibre 或手征高斯酉）系综。所有结果对有限矩阵维数均成立。此外，我们推导了 Toeplitz 行列式之间的递归关系，此乃我们结果的副产品。