随机矩阵理论中正交与辛系综的普适性

对于一类权函数 w(x)=exp(-V(x))（其中 V 为多项式，V(x)=kappa_{2m}x^{2m}+...，kappa_{2m}>0）的随机矩阵正交与辛系综，我们给出其在标度极限下普适性猜想的证明。对此类权函数，相应的平衡测度支撑于单一区间上。我们结果的精确表述见下文定理 1.1。关于同一类权函数下酉系综普适性猜想的证明，参见 [DKMVZ2]。我们的出发点是 Widom [W] 对正交与辛关联核的表示：以酉情形中出现的核加上一个修正项，该修正项由关于权函数 w(x) 的正交多项式（OP）{p_j(x)}（j=0,1,...）的导数与积分构造而成。[W] 中的计算进而依赖于 Tracy 与 Widom [TW2] 的早期工作。结果表明（见 [W] 及下文定理 2.1 与 2.2），仅有 j=N+O(1)、N->infinity 范围内的 OP 对修正项有贡献。在控制该修正项并从而证明正交与辛两种情形的普适性时，[DKMVZ2] 中OP的均匀 Plancherel-Rotach 型渐近起着重要作用，但存在酉情形所没有的显著新解析困难必须克服。我们注意到未使用斜正交多项式。