基于非对称线性组合单位实现的量子卷积——通过模块加法器

离散圆环卷积在 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上的离散卷积是一种线性算子，可在量子硬件中通过线性组合单位(LCU)框架实现。本文通过非对称LCU公式明确建立此连接：圆环卷积是电路受控位移算子在计算基态上进行模块加法的一个后选块。非对称性至关重要：固定后选态为均匀态 $|u\rangle$ 而将核态 $|\mathbf{b}\rangle$ 作为输入辅助态自然保留复系数 $b_i$ 于该块中，而对称叠加则会得到 $|b_i|^2$ 的权重并消除相位信息。因此，当 $|\mathbf{a}\rangle$ 和 $|\mathbf{b}\rangle$ 来自上游量子例程时，卷积子程序仅需固定的反算例 $\mathrm{PREP}_u^\dagger$，完全无需核态依赖的逆准备 $\mathrm{PREP}_b^\dagger$。我们随后引入反转矩阵 $J_n=X^{\otimes n}$，定义反射位移 $\widetilde{L}_{i,n}=L_{i,n}J_n$。这种对称化产生的卷积递归算子algebra在LCU/块编码工作流程中天然兼容。最终得到的对称化算子与圆环卷积仅相差一个既知的输入侧 $J_n$ 层。关键的是，对于实值核， resulting operator $H_n(\mathbf{b})=\sum_i b_i\widetilde{L}_{i,n}$ 是厄米矩阵，为量子奇异值变换(QSVD)及相关谱变换提供直接的厄米接口。基于此框架，我们给出透明的递归构造，配合等价的优化位级编译 $\mathrm{SELECT}$ 块。最后，我们在明确的成本模型约定下评估实现权衡与资源规模。