Tribonacci 词的阿贝尔复杂度函数

根据 Richomme、Saari 和 Zamboni 的结果，Tribonacci 词的阿贝尔复杂度满足 $\rho^{\mathrm{ab}}(n)\in\{3,4,5,6,7\}$，其中 $n\in\mathbb{N}$。在本文中，我们推导出了一个显式计算函数 $\rho^{\mathrm{ab}}(n)$ 的自动机。该自动机以 $n$ 的 Tribonacci 表示作为输入；因此，序列 $(\rho^{\mathrm{ab}}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ 在广义意义上是一个自动序列。由于我们对 $\rho^{\mathrm{ab}}(n)$ 的评估仅使用 $\mathcal{O}(\log n)$ 次运算，即使对于较大的 $n$ 值也非常快速。我们的结果还解决了 Richomme 等人提出的一个开放问题，即刻画那些使得 $\rho^{\mathrm{ab}}(n)=c$ 的 $n$，其中 $c$ 属于 $\{4,5,6,7\}$。此外，我们将相同的方法应用于 $4$-bonacci 词，从而也得到了 $4$-bonacci 词阿贝尔复杂度的描述。