低自动复杂度单词的语言难以计算

有限单词的自动复杂度是 Sipser 的区分复杂度 (1983) 在有限自动机上的类比，由 Shallit 和 Wang (2001) 引入。对于至少包含两个元素的有限字母表 $\Sigma$，我们考虑给定的非确定性自动复杂度：恰好接受自动机。若单词 $x \in \Sigma^*$ 被恰好由 $k$ 个状态的非确定性自动机接受，且该自动机接受 $x$ 同时拒绝所有长度与 $x$ 相同的其他单词，而且不存在更少状态的自动机具有此属性，则称 $x$ 的恰好非确定性自动复杂度为 $k \in \mathbb{N}$。重要的是，与经典概念不同，见证自动机可以拥有多条接受 $x$ 的计算路径。我们将此复杂度度量记为 $A_{Ne}$，并研究由低 $A_{Ne}$-复杂度语言构成的类 $L_q = \{ \, x \in \Sigma^* : A_{Ne}(x) < q|x| \, \}$，其中参数化为有理数 $q \in (0,1/2)$（推广了 Kjos-Hanssen 首次研究的集合类）。我们证明对于每一个 $q \in (0,1/2)$，该类既非上下文无关也不可被特定布尔电路识别。过程中，我们解答了 Kjos-Hanssen 的开放问题，量化 $L_{1/3}$ 的布尔电路复杂度，并也证明了 $A_{Ne}$ 的香农效应。