Leopoldt 猜想的一个变体：部分局部单位元而非全部

Leopoldt 猜想是关于数域的全局单位元与局部单位元之间关系的陈述。该猜想大致表述为：全局单位元对角嵌入到所有局部单位元的乘积中的 $\mathbb{Z}_p$-秩等于全局单位元的 $\mathbb{Z}$-秩。我们要考虑的变体问题是：关于全局单位元对角嵌入到部分局部单位元乘积中的 $\mathbb{Z}_p$-秩，我们能得出什么结论？我们利用 $p$-进 Schanuel 猜想对该问题给出了肯定的回答，并且根据全局单位元的 $\mathbb{Z}$-秩以及乘积中所包含局部单位元的性质，给出了该 $\mathbb{Z}_p$-秩（即全局单位元对角嵌入到部分局部单位元乘积中的秩）的具体数值。