线性矩阵方程的ADI类方法统一框架及其有益影响
数值分析
2025-01-24 v3 数值分析
摘要
我们基于交换算子分割推导交替方向隐式（ADI）方法，并详细阐述其适用于以低秩常数项和近似解的连续时间代数黎曼方程，给出关于雅可比方程的指导。此前，针对黎曼方程（CF-ADI、LR-ADI、G-LR-ADI）或雅可比方程（fADI、G-fADI）的低秩ADI方法必须以全零初始值开始。我们的方法将已知的高效迭代方案（针对低秩增量和残差）推广到所有这些方法的任意低秩初始值。我们进一步推广了低秩黎曼ADI的两个性质到适用于任意线性方程的通用ADI方法，以交换算子分割实现，称为迭代在移位参数的排列下的不变性，以及对复数移位参数的高效处理。我们通过两个外层迭代研究任意初始值的性能，其中低秩黎曼ADI通常被调用。首先，我们使用牛顿法求解代数Riccati方程。其次，我们使用一阶罗森布克方法求解微分Riccati方程。数值实验确认，本文提出的ADI的新型初始值可显著减少ADI步数的总数，同时在两种方程类型下分别相对于零初始值实现了约17%和8倍的加速。
引用
@article{arxiv.2406.13477,
title = {A unifying framework for ADI-like methods for linear matrix equations and beneficial consequences},
author = {Jonas Schulze and Jens Saak},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.13477},
year = {2025}
}
备注
v3: revised title, abstract, and introduction