求解矩阵方程的优化方法

本文聚焦于使用优化方法求解矩阵方程，将求解 Sylvester 矩阵方程或连续代数 Riccati 方程的问题转化为优化问题。首先，我们使用约束凸优化方法（CCOM）求解带有 $\ell_{2,1}$ 范数的 Sylvester 矩阵方程，并提供了 CCOM 的收敛分析和数值实例；然而，结果表明该算法效率不高。为了解决这一问题，我们采用经典的拟牛顿方法（如 DFP 和 BFGS 算法）求解 Sylvester 矩阵方程，并给出了算法的收敛性和数值结果。此外，我们将这些算法与 CG 算法和 AR 算法进行了比较，结果表明所提出的算法是有效的。进一步地，我们提出了一个交替方向乘子法（ADMM）的统一框架，用于直接求解连续代数 Riccati 方程（CARE），并给出了 ADMM 的收敛性和数值结果。实验结果表明，ADMM 是求解 CARE 的有效优化算法。最后，为了提高优化方法求解 Riccati 方程的有效性，我们提出了 Newton-ADMM 算法框架，该方法的外层迭代采用经典的牛顿法，内层迭代则使用 ADMM 非精确求解 Lyapunov 矩阵方程。我们还给出了该算法的收敛性和数值结果，结果表明在求解 CARE 时该算法比 ADMM 更高效。