螺线管电荷的迹不等式

我们证明对于 $\alpha \in (d-1,d]$，对所有螺线管向量测度 $F$（即 $F\in M_b(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$ 且 $\operatorname{div}F=0$）成立迹不等式 \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^d} |I_\alpha F| \;d\nu \leq C |F|(\mathbb{R}^d)\|\nu\|_{\mathcal{M}^{d-\alpha}(\mathbb{R}^d)} \end{align*}。此处 $I_\alpha$ 表示阶为 $\alpha$ 的 Riesz 位势，$\mathcal M^{d-\alpha}(\mathbb{R}^d)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上 $(d-\alpha)$ 维测度的 Morrey 空间。