$\beta$-Hausdorff维数曲面上Morrey-Lorentz空间上的Adams迹原理

本文将Adams提出的著名迹原理加强到Morrey-Lorentz空间。更确切地说，我们证明Riesz位势$I_{\alpha}$连续\begin{equation} \Vert I_{\alpha}f\Vert_{\mathcal{M}_{q, \infty}^{\lambda_{\ast}}(d\mu)}\lesssim \Arrowvert\mu\Arrowvert_{\beta}^{{1}/{q}}\,\Vert f\Vert_{\mathcal{M}_{p, \infty}^{\lambda}(d\nu)}\nonumber\[0.02in] \end{equation} 当且仅当支撑于$\Omega\subset \mathbb{R}^n$中的Radon测度$d\mu$满足$$\Arrowvert\mu\Arrowvert_{\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^n,\,r>0}r^{-\beta}\mu(B(x,r))<\infty$$ 其中$1<p<q<\infty$满足$n-\alpha p<\beta\leq n,\; \alpha=\frac{n}{\lambda}-\frac{\beta}{\lambda_\ast}\; \text{ 且 }\;\frac{\lambda_\ast}{q}\leq \frac{\lambda}{p}\nonumber\,$。我们的结果提供了一类比以往更大的函数空间新类，因为当$1<p<\lambda<\infty$且$s\in\mathbb{R}$满足$\frac{1}{p}-\frac{s}{n}=\frac{1}{\lambda}$时有严格连续嵌入$\dot{B}_{p,\infty}^{s}\hookrightarrow L^{\lambda, \infty}\hookrightarrow \mathcal{M}_{p}^{\lambda}\hookrightarrow\mathcal{M}_{p, \infty}^{\lambda} \nonumber$。若$d\mu$集中于$\partial\mathbb{R}^n_+$，作为推论我们得到半空间$\mathbb{R}^n_+$上的Sobolev-Morrey迹不等式，其恢复了$L^p(\mathbb{R}^n_+)$中著名的Sobolev迹不等式。此外，通过对非加倍Cader\'on-Zygmund分解的适当分析，我们证明\begin{equation} \Vert M_{\alpha}f\Vert_{\mathcal{M}_{p, \ell}^{\lambda}(d\mu)}\,\sim\, \Vert I_{\alpha}f\Vert_{\mathcal{M}_{p, \ell}^{\lambda}(d\mu)}\nonumber \end{equation} 在支撑$\text{spt}(\mu)$上满足$\mu(B_r(x))\sim r^{\beta}$且$n-\alpha <\beta\leq n$、$0<\alpha<n$时成立。该结果推广了以往的结论。