Viro 图的 $\mathfrak{gl}(1\vert 1)$-Alexander 多项式的拓扑解释

本文是 [arXiv:1708.09092v2] 的续篇。对于嵌入 $S^3$ 中无源或汇的有向三价图 $G$，我们证明 Viro 定义的 $\mathfrak{gl}(1| 1)$-Alexander 多项式 $\underline{\Delta}(G, c)$ 满足一系列关系，我们在 [arXiv:1708.09092v2] 中称之为 MOY 型关系。作为推论，我们表明 [arXiv:1708.09092v2] 中研究的 Alexander 多项式 $\Delta_{(G, c)}(t)$ 在 $G$ 的正着色 $c$ 下与 $\underline{\Delta}(G, c)$ 一致，其中 $\Delta_{(G, c)}(t)$ 由 $S^3$ 中 $G$ 补集的某正则覆盖空间构造而来，且为我们先前所研究的 $G$ 的 Heegaard Floer 同调的 Euler 示性数。当 $G$ 为平面图时，我们通过考虑 $G$ 的一个特殊 Heegaard 图以及 Heegaard 曲面上的 Fox 微积分，对 $\underline{\Delta}(G, c)$ 的顶点态求和给出了拓扑解释。