场论的一条荆棘之路：从平凡性到相互作用与禁闭

对 \phi^4 理论的 Gell-Mann--Low 函数 \beta(g) 的微扰级数求和，在 g\to\infty 时得到渐近行为 \beta(g)=\beta_\infty g^\alpha，其中对于空间维数 d=2,3,4 有 \alpha\approx 1。由此产生一个自然假设：对所有 d，渐近行为均为 \beta(g) \sim g。对“玩具”零维模型的考察证实了该假设，并揭示了这一结果的起源：它与某个泛函积分的零点有关。这一机制对任意空间维数 d 均成立。对于明确采用的格点正则化，也得到了相同的渐近结果，而使用高温展开则可以计算出整个 \beta-函数。因此，四维 \phi^4 理论的 \beta-函数表现为非交错的，且在无穷远处具有线性渐近。QED 中存在类似情形。根据 Bogoliubov 和 Shirkov 的分类，这意味着有可能构造在大距离上具有有限相互作用的连续理论。这一结论与表明 \phi^4 理论具有平凡性的格点结果明显矛盾。这一矛盾由 \phi^4 理论中可重整化的特殊性质所解决：为了获得连续的重整化理论，无需从裸理论中消除格点。事实上，这种可重整化并非偶然，并可以在 Wilson 多参数重整化群的框架内理解。将这些思想应用于 QCD 表明，Wilson 的禁闭理论并非纯粹说明性的，而是与现实情形直接相关。因此，禁闭与质量隙的解析证明问题可被视为已解决，至少是在物理严格性层面上。