Schur 引理的次线性版本与椭圆型偏微分方程

我们研究了 $(1,q)$ 型加权范数不等式，$$\Vert \mathbf{G}\nu \Vert_{L^q(\Omega, d\sigma)} \le C \Vert \nu \Vert, \quad \text{ for all } \nu \in \mathcal{M}^+(\Omega),$$ 及其弱型类比，其中 $0 < q < 1$，$\mathbf{G}$ 是与非负核 $G(x,y)$ 相关联的积分算子。此处 $\mathcal{M}^+(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 中的正 Radon 测度类；$\sigma, \nu \in \mathcal{M}^+(\Omega)$，且 $||\nu||=\nu(\Omega)$。对于弱型和强型不等式，我们提供了刻画使得此类嵌入成立的测度 $\sigma$ 的条件。针对 $0<q<1$ 的强型 $(1,q)$ 不等式与存在正函数 $u$ 使得 $u \ge \mathbf{G}(u^q \sigma)$ 密切相关，即积分方程 $$u - \mathbf{G}(u^q \sigma) = 0, \quad u \in L^q_{\rm loc} (\Omega, \sigma).$$ 的上解。本研究由求解涉及分数阶拉普拉斯算子的次线性方程 motivate，$$(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}} u - u^q \sigma = 0$$ 在具有正格林函数 $G$ 的区域 $\Omega \subseteq \mathbf{R}^n$ 中，其中 $0 < \alpha < n$。