随机 Hamilton-Jacobi 方程解的次方差界

我们估计了一个随机最优控制问题值函数的方差。该值函数是具有随机 Hamiltonian $H(p,x,\omega) = K(p) - V(x/\epsilon,\omega)$ 的 Hamilton-Jacobi 方程在维度 $d \geq 2$ 下的解 $w^\epsilon$。已知当 $\epsilon \to 0$ 时会发生均匀化，但关于 $w^\epsilon$ 的统计涨落知之甚少。我们的主要结果表明，解 $w^\epsilon$ 的方差以 $O(\epsilon/|\log \epsilon|)$ 为界。该证明依赖于 Talagrand 的一个修改版 Poincaré 不等式。