具有不连续拉格朗日量与哈密顿-雅可比不等式的博尔扎问题的价值函数

我们研究变分法博尔扎问题的价值函数 $$V (t,x)=\inf \{\int_{0}^{t} L (y(s),y'(s))ds + \phi(y(t)) : y \in W^{1,1} (0,t; R^n) ; y(0)=x \},$$ 其中拉格朗日量 $L$ 为下半连续，终端代价为 $\phi$，并证明当 $L$ 局部有界时，它对 $t>0$ 是局部 Lipschitz 的。它还以广义意义满足哈密顿-雅可比不等式。当拉格朗日量连续时，价值函数是相应哈密顿-雅可比方程唯一的下半连续解；而对于不连续拉格朗日量，我们利用所谓的 conting 不等式刻画价值函数。