Sobolev 范数下值函数误差界限蕴含控制器性能次优性界限

针对非线性系统的最优反馈控制器可通过求解 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来获得。然而，由于 HJB 是非线性偏微分方程，数值方法通常仅提供近似解。虽然关于近似 HJB 解的数值误差界通常可用，但这些界限不一定转化为对最终控制器次优性的保证。本文建立了次优性由 HJB 残差的 $L^\infty$ 范数界限，这反过来又由值函数在 Sobolev 空间 $W^{1,\infty}$ 范数下的数值误差所界限。这意味着值函数在 $W^{1,\infty}$ 中的收敛将导致成本与真实最小值 arbitrarily接近的控制器。相比之下，我们演示了当值函数误差以较弱范数（如 Sobolev 空间 $W^{1,p}$ 中有限 $p$ 的范数）衡量时，这类保证不成立。这些结果适用于由 Lipschitz 连续动力学在有限时间窗口内支配、输入空间紧致的系统。